A. TANIM
n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, ... , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere,

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn

biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir.

 

B. TEMEL KAVRAMLAR

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn

olmak üzere,

Ü  a0, a1, a2, ... , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir.

Ü  a0, a1x, a2x2, ... , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir.

Ü  Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir.

Ü  Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir.

Ü  Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir.

Ü  a0 = a1 = a2 = ... = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

Ü  a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = ... an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır.

Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir.

Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır.
 

 

C. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR

P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir.

D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK

Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.

Ü  P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.

Ü  P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.

Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır.
P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamı

P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir.
 

Ü  P(x) polinomunun;

Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

 

Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:



 

E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER

1. Toplama ve Çıkarma

P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ...

Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + ...

olmak üzere,

P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + ...

P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + ...

olur.

2. Çarpma

İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.

3. Bölme

der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere,



P(x) : Bölünen polinom

Q(x) : Bölen polinom

B(x) : Bölüm polinom

K(x) : Kalan polinomdur.

 

Ü  P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)

Ü  der [K(x)] < der [Q(x)]

Ü  K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.

Ü  der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]

Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır.

Bunun için;

Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.
Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün te-rimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır.
Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır.
Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.
 

F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI

Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz.

1. Bölen Birinci Dereceden İse

Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine  yazılır.

 P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir.
 P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan


2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa

Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur.

P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise,

P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur.

P(b) = mb + n ... (1)

P(c) = mc + n ... (2)

(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.

Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir.

3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa

Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur.

1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur.

2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.

 P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölü-münden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır.
4. P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+)

 
P(x) = axn + bxm + d ise,

Pı(x) = a . nxn–1 + b . mxm–1 + 0

Pıı(x) = a . n . (n – 1)xn – 2 + b . m(m –1) . xm – 2 dir.
 

 

P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise,

P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan

K(x) = (x – a) k2 + k1 olur.
 

G. BASİT KESİRLERE AYIRMA

a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,


 

eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur.

 

Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen  de yazılır.

Aynı işlemler B için de yapılır.

 

 

H. DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER

m > n olmak üzere,

der[P(x)] = m

der[Q(x)] = n olsun.

Buna göre,

der[P(x) ± Q(x)] = m tir.
der[P(x) . Q(x)] = m + n dir.
P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir.
k Î N+ için der[Pk(x)] = k . m dir.
der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır.
 


devamı geLcek

Resimlerin Görüntülenmesine Izin Verilmiyor
Resimleri Görebilmek Için Üye Ol veya Giris Yap

Resimlerin Görüntülenmesine Izin Verilmiyor
Resimleri Görebilmek Için Üye Ol veya Giris Yap

Resimlerin Görüntülenmesine Izin Verilmiyor
Resimleri Görebilmek Için Üye Ol veya Giris Yap

Resimlerin Görüntülenmesine Izin Verilmiyor
Resimleri Görebilmek Için Üye Ol veya Giris Yap

Resimlerin Görüntülenmesine Izin Verilmiyor
Resimleri Görebilmek Için Üye Ol veya Giris Yap

çok sağol gülll çokkkk teşekkür ederimm

yeter herhalde çok teşşekkür ederim

a0, a1, a2, ....an-1, an Î R ve n Î N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + .... + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

    *
    *
    * an xn, an-1 xn-1, ...., ak xk, ....., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
    * an, an-1, ...., ak, ...., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.
    * P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve[P(x)]=n şeklinde gösterilir.
    * Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,

P(x) = anxn + an-1xn-1 + .... + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.

    * Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R

• ile gösterilir.

Örnek:

P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n Î N kaç olmalıdır?
Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.
3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 ³ 0 den n ³ 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2x4 + x + 4 dür.
ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.
Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.
der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.
Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.
Örnek:
P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?
Çözüm:
2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.
Örnek:
P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?
Çözüm:
P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2
= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = - 2 bulunur.
P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2
= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.
SIFIR POLİNOMU

P(X) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,
an = an-1 = ... = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.
Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.
Örnek:
P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

Çözüm:

P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.
SABİT POLİNOM

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = ... = a1 = 0 ve a0¹ 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.
0xn + 0xn-1 + ... + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.
x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.
Örnek:
P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.
Çözüm:

P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.
İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma eşit polinomlar denir.
n. dereceden,
A(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;
A(x) = B(x) Û an = bn, an-1 = bn-1, ... , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.
Örnek:
A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d,
B(x) = (b - 1)x3 – 3x2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.
Çözüm:

A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d = 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b – 1)x3 - 3x2 – (2c – 3)x + olduğundan;
A(x) = B(x) &THORN; 5 = b – 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c – 3), d =
b = 6, a = -4, c = , d = dir.
POLİNOM FONKSİYONLARI

P : R ® R
x ® P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.
P : R ® R
x ® P(x) = 5x3 + 2x2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.
Örnek:
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.
Çözüm:

I.Yol:


P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.

II.Yol:

Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.
Örnek:
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.
Çözüm:

P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde
H = x + 2 &THORN; h –2 = x’i yerine yazalım.
P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.
POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa
P(1) = an + an-1 + ... + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.
Örnek:
P(x) = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.
Çözüm:

P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1
= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.
POLINOMLARDA İŞLEMLER

1. Polinomlarda Toplama İşlemi:
A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0
Örnek:
P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1, Q(x) = 3x2 + Ö3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.
Çözüm:

P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + Ö3) x + 1 + 4
= x3 + 5x2 + (Ö3-3) x + 5 dir.
Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.
Polinomlarda Toplama İşleminin Özellikleri:
1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.
5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.
2. Polinomlarda Çıkarma İşlemi:

P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.
P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.
Örnek:

A(x) = 5x4 + x3 – 3x2 + x + 2 ve
B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım.
Çözüm:

B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise, -B(x) = 5x4 - x3 – 2x2 - dir.
A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5x4 + x3 – 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 –2x2 - )
= (5 + 5)x4 + (-)x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 - )
= 10x4 – x3 – 5x2 + x - olur.
Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.
3. Polinomlarda Çarpma İşlemi:

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.
anxn ile bkxk teriminin çarpımı
anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.
Yani (5x3) . (-2x4) = 5 . (-2) x3+4 = -10x7
Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))
Örnek:

A(x) = 3x4 + 1, B(x) = x2 + x
C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.
a) A(x) . B(x)
b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.
Çözüm:

a) A(x) . B(x) = (3x4 + 1) . (x2 + x)
= 3x4 . x2 + 3x4 . x + x2 + x
= 3x6 + 3x5 + x2 + x

b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)
= x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1
= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur.
Polinomlarda Çarpma İşleminin Özellikleri:
1. Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur.
2. Değişme özelliği vardır.
3. Birleşme özelliği vardır.
4. Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.
5. Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.
Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir.
6. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)
Polinomlar Halkası
Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R

• polinomlar kümesi;

1. (R

• ,+) sistemi değişmeli gruptur.

2. R

• kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

3. R

• kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

O halde (R

• , + , . ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.

4. Polinomlarda Bölme İşlemi:
A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü
A(x) B(x)
ê T(x)
ê
.
-___________
R(x)

Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır.
Bu bölme işlemi yapılırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir:
1. Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.
2. Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.
derB(x) < derA(x)

3. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.
derR(x) < derB(x)

4. R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.
5. derA(x) = derB(x) + derT(x)
der = derA(x) – derB(x) dir.
Örnek:
P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu
Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim.
x4 – 2x2 + x + 5 x2 + 3x – 1
_____________ = x2
x2- 3x + 8

± x4 ± 3x3 ± x2 = -3x
-__________________
-3x3 – x2 + x + 5 = 8
±3x3 ± 9x2 ±3x
-_________________
8x2 – 2x + 5
± 8x2 ± 24x ±8
-_________________
- 26x + 13

Bölüm : x2 – 3x + 8
Kalan : -26x + 13
Horner Metodu
Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.
Örnek:
Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim.
Çözüm:
1. Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2. Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x3’ün katsayısı 0 olur.
3. p katsayısı aşağıya aynen yazılır.
4. a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.
Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir.
px3 + qx2 + rx + s, x – a = 0 ise x = a
Örnek:
P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.
Çözüm:
P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0 &THORN; x = 2 ‘yi yerine yazalım.
Bölümün Katsayıları Kalan
-1 0 3 4
2 1 2 2 4 14
1 1 2 7 18

Bölümün Katsayıları Kalan

Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7
Kalan R(x) = 18 bulunur.
Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma
Bir P(x) Polinomunun “x – a” ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden olduğundan, kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k &THORN; P(a) = k bulunur.
Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde, bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0 &THORN; x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır.
Örnek:
P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.
Çözüm:
X – 2 = 0 &THORN; x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse, P(2) = 22 – 3 . 2 + 21 = 19 olur.
Bir P(x) Polinomunun “ax + b” ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k yazılır.
Ax + b = 0 &THORN; x = olur. Polinomda x yerine yazılırsa P() = k bulunur. O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine yazılır.
Örnek:
P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.
Çözüm:
P () = - 4. + 1 = - 2 + 1 = olur.
Bir P(x) Polinomunun “x2 + a”, “x3 + a”, “x4 + a” ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x2 yerine –a yazılır.
P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x3 yerine –a yazılır.
P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x4 yerine –a yazılır.
Örnek:
P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.
Çözüm:
İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0 &THORN; x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız.
P(x) = x2 . x2 – x2 . x + x2 + 7x – 1 olur.
Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur.
Bir Polinomun (x – a).(x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) . (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen P(x) polinomu önce (x – a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür.
Örnek:
Bir P(x) polinomunun (x + 3).(x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.
Çözüm:
(x + 3).(x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa,
P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.
P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.
P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b &THORN; P(-3) = -3a + b
P(2) = (2 + 3) (2 – 2) . B(2) + 2a +b &THORN; P(2) = 2a +b olur.
-3a + b = -5
2a + b = 4
denklem sistemi çözülürse, a = ve b = olur. Buradan, K(x) = x + bulunur.
Örnek:
Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.
Çözüm:
Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan, en fazla 2. dereceden ax2 + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa;
P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur. Polinomda,
x = 1 için P(19 = (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve
x2 = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = - 2x + 6 olur.
bx + c – 2a = -2x + 6 &THORN; b = -2 ve c-2a = 6 olur. Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den
a – 2 + c = 7 &THORN; a + c = 9 dur.
c - 2a = 6
a + c = 9
Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Öyleyse, K(x) = x2 – 2x + 8 olur.